08中考第一轮复习资源库及第一轮复习的教学案 |
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第1讲 实数的概念与应用
第2讲 整式
第3讲 分式
第4讲 数的开方及二次根式
第5讲 整式方程的解法及应用
第6讲 分式方程的解法及应用
第7讲 方程组的解法及应用
第8讲 不等式
第1讲 实数的概念与应用
◆考点链接
1．了解实数的概念、分类以及大小比较．
2．理解相反数、绝对值及倒数的意义．
3．掌握实数的运算法则、运算律，并能熟练应用它们解决计算问题．
4．了解近似数与有效数字的概念，能用科学记数法按问题的要求对结果取近似值．
◆典例精析
【例题1】 （河南）2005年末我国外汇储备达到8 189亿美元，8 189用科学记数法表示（保留3个有效数字）是（ ）．
A．8.19×1011 B．8.18×1011 C．8.19×1012 D．8.18×1012
解题思路：解答本题的关键是正确理解近似数的精确度及有效数字等概念，精确到哪一位，保留几个有效数字，因此，8 189亿=818 900 000 000，用科学记数法表示为8.19×1011，保留3个有效数字为8.19×1011，故选A．
【例题2】 若a的倒数是－1，b+2与a－3互为相反数，c的绝对值为2，且ac>0，试比较：b+c与ab的大小．
评析：根据倒数、相反数、绝对值的意义，可首先求出a、b、c的值，再对b+c与ab进行大小比较．
答案：b+c>ab
【例题3】 计算：
（1）103+（ ）－2×（－7）0－（－3）3×0.3－1+│－5│+5；
（2）（5.7）÷（－ ）－4.3×13+（－ + ）×30．
解：（1）原式=1 000+900×1－（－27）× +5+5=1 000+900+90+5+5+2 000．
（2）原式=－5.7×13－4.3×13－12+25=－5.7×13－4.3×13+13=13（－5.7－4.3+1）=－117．
评析：（1）题中含有加、减、乘、除、乘方运算，计算此类型题目，应注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．（2）恰当运用乘法分配律，可使运算简便．
◆探究实践
【问题1】 （武汉）下面是一个有规律排列的数表
第1列 2 3 4 5 … n …
上面数表中第9行，第7列的数是________．
解题思路：运用从特殊到一般的归纳方法来观察、分析、类比出第n行、第m列的数的表达式，由于每一行的数的分子就是行数，分母就是列数，所以第9行，第7列的数是 ．
【问题2】（浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：
4=22－02，12=42－22，20=62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）28和2 012这两个数是“神秘数”？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
解：（1）28=4×7=82－62，2 012=4×503=5042－5022，所以是神秘数．
（2）（2k+2）2－（2k）2=4（2k+1），因此由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．
（3）由（2）知神秘数可表示为4的倍数，但一定不是8的倍数，而（2k+1）2－（2k－1）2=8k，即两个连续奇数的平方差不是神秘数．
评析：抓住题目定义神秘数的标准，由此得出神秘数的一般表达形式，也就是解决（3）问的依据．
◆中考演练
一、选择题
1．（绍兴）冬季的一天，室内温度是8℃，室外温度是－2℃，则室内外温度相差（ ）．
A．4℃ B．6℃ C．10℃ D．16℃
2．（大连）－a的相反数是（ ）．
A．a B． C．－a D．－
3．（长沙）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A．a>b B．ab<0 C．b－a>0 D．a+b>0
二、填空题
1．2的相反数是_____，1－ 的绝对值是______，－ 的倒数为_______．
2．下列各数中：－3， ，0， ， ，0.31， ，2 ，2.161 161 161…，（－2 005）0是无理数的是_______________．
3．据某网站报道：一粒废旧纽扣电池可以使600t水受到污染，某校团委四年来共回收废旧纽扣电池3 600粒．若这3 600粒废旧纽扣电池可以使m（t）水受到污染，用科学记数法表示m为__________（保留2位有效数字）；用四舍五入法得到的近似数3.20×105的精确度是精确到_______位，有效数字为_________．
三、解答题
1．计算：
（1）（－4 ）－0.14+4 ； （2）－（－4）－ ÷（－ ）×（－2）；
（3）12（ － ）+（－ ）－2÷（－5）0×（－1）2007；
（4）（－ － ）×（－6）－（－2）3÷（－ ）2+ 0．
2．学校食堂出售两种厚度一样但大小不同的面饼，小饼直径为30cm，售价30分，大饼直径为40cm，售价40分，你愿意买哪种饼？请说明原因．
◆实战模拟
一、选择题
1．如图，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）．
A． －1 B．1－ C．2－ D． －2
2．（常州）如果a<0，b>0，a+b<0，那么下列关系式中正确的是（ ）．
A．a>b>－b>－a B．a>－a>b>－b C．b>a>－b>－a D．－a>b>－b>a
3．若x的相反数是3，│y│=5，则x+y的值为（ ）．
A．－8 B．2 C．8或－2 D．－8或2
二、填空题
1．（深圳）人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级，2级，3级，4级，5级，6级，7级……逐渐增加时，上台阶的不同方法种数依次为1，2，3，5，8，13，21，……这就是著名的斐波那契数列，那么小聪上这9级台阶共有_____种不同方法．
2．（绵阳）我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数，这两者可以相互换算，如将二进制数1101换算成十进制数应为1×23+1×22+0×21+1×20=13，按此方式，则将十进制数25换算成二进制数应为________．
3．在计算器上按照下面的程序进行操作：
下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：
x | －2 | －1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | －5 | －2 | 1 | 4 | 7 | 10 |
上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是□□．
三、解答题
1．（1）[－32×2－（－4）2]÷（－2）2； （2）（ － － ）×18－1.45×6－3.55×6；
（3）－32－[（－2）3÷（－ ）－2+2×（－2.11）0]÷（－5）× ．
2．（1）（浙江）据了解，全国火车票票价是按“ ”的方法来确定的．已知A站到H站总里程数为1 500km，全程参考价为180元．下表是沿途各站到H站的里程数：
车站名 | A | B | C | D | E | F | G | H |
各站至H站的里 程数（单位：km） | 1 500 | 1 130 | 910 | 622 | 402 | 219 | 72 | 0 |
例如，要确定从B站至E站火车票价，其票价为 =87.36≈87（元）．
①求A站到F站的火车票价（结果精确到1元）；
②旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价是66元，马上说“下一站就到了”．请问王大妈是在哪一站下车的？（要求写出解答过程）
（2）（杭州）在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再用“＋、－、×、÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数．
答案:
中考演练
一、1．C 2．A 3．A
二、1．－2， －1，－ 2． ，2 ，2.161 161 161…
3．m=2.2×106，千 3，2，0
三、1．（1）－0.14 （2）3 （3）－3 （4）38
2．∵两种饼的厚度相同，由题意知，买小饼1份可买的面饼面积是： =7.5 ．买大饼1份可买的面饼面积是： =10 ，10 >7.5 ．
∴我更愿意买大饼
实战模拟
一、1．C 2．D 3．D
二、1．55 2．11 001 3．+，1
三、1．（1）－ （2）－38 （3）－9
2．（1）①154元 ②D站或G站下的车 （2）略
第2讲 整式
◆考点链接
1．会用代数式表示一些问题的数量关系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义．
2．了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数．
3．了解整式的概念，掌握其运算法则，并能熟练进行整式的运算．
4．会用提公因式法、公式法进行因式分解．
◆典例精析
【例题1】填空：
（1）单项式－ 的系数是______，次数是_______；
（2）关于x的多项式5xn－1－x+m－1是二次二项式，则n=______，m=_____；
（3）当m=______时，代数式x2－2（m－3）x+16是完全平方式．
答案：（1）－ ，6 （2）n=3，m=1 （3）m=7或－1
【例题2】计算：
（1）（－2a2b）3÷（2a3）×（－b2）÷（－4ab2）2；
（2）（a－1）（a+2）－（－1－2a）（2a－1）－（2a－3）2．
解题思路：（1）综合运用积的乘方，幂的乘方，单项式乘法，单项式除法等运算法则进行计算．
（2）运用多项式乘法法则、乘法公式进行计算．
答案：（1） ab （2）a2+13a－12
评析：（1）题是单项式的乘方、乘除混合运算，要注意先乘方再乘除的运算顺序，要注意符号的处理；
（2）题要掌握和区分平方差以及两数差的完全平方公式，还要注意去括号时符号的处理．
【例题3】分解因式：
（1）36x2－12x3－27x；
（2）8y3（x－3y）+2y（3y－x）；
（3）（x2+9）2－36x2．
解题思路：（1）因式分解时，首先考虑提公因式，再考虑用公式；
（2）观察多项式公因式时要注意：
（a－b）2n=（b－a）2n，（a－b）2n+1=－（b－a）2n+1。
答案：（1）－3x（2x－3）2 （2）2y（x－3y）（2y+1）（2y－1）
（3）（x－3）2（x+3）2
评析：在分解因式的结果中（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）没有特殊说明，分解结果应在有理数范围内不能分解为止．
◆探究实践
【问题1】甲、乙两家公司准备面向社会招聘人才，两家公司的条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：甲公司的年薪为2a元，工作一年后每年增加工龄工资4b元，乙公司半年薪为a元，工作半年后，每半年增加工龄工资b元，若仅从经济利益的角度为考虑，哪家公司的条件更优惠？为什么？
解题思路：解决此题的关键是：首先用代数式将比较的双方表示出来，再用差值法（或比值法）比较大小．
解：设工作第n年在甲、乙两公司的年收入分别为y1元，y2元．
则y1=2a+4b（n－1），y2=2a+b+4b（n－1）．
∵y2－y1=b>0，∴y2>y1．
即在乙公司工作每年比甲公司多收入b元，因此乙公司条件更优惠．
评析：此类实际问题需先列代数式，通过比较代数式的大小解决问题．
【问题2】（攀枝花）先阅读下列材料，再解答后面的问题：
材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为an．如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a>0，且a≠1，b>0），则n叫做以a为底b的对数，记数logab（即logab=n），如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即l0g381=4）．
问题：（1）计算以下各对数的值：
log24=_______；log216=______；log264=_______．
（2）观察（1）中三数4，16，64之间满足怎样的关系式？log24，log216，log264之间又满足怎样的关系式？
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结果吗？
logaM+logaN=_______（a>0，且a≠1，M>0，N>0）
根据幂的运算法则：an·am=am+n以及对数的含义证明上述结论．
解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；
（2）4×16=64，log24+log216=log264；
（3）logaM+logaN=loga（MN）．
证明：设logaM=b1，logaN=b2．
则ab1=M，ab2=N，∴MN=ab1·ab2=ab1+b2，
∴b1+b2=loga（MN），即logaM+logaN=loga（MN）
评析：此题是阅读理解题，主要是考虑学生的阅读理解能力及自学能力．
◆中考演练
一、选择题
1．下列各式中，与x2y是同类项的是（ ）．
A．xy2 B．2xy C．－x2y D．3x2y2
2．（绵阳）计算：a4·a3÷a2=（ ）．
A．a3 B．a4 C．a5 D．a6
3．试用计算器探索：按一定的规律排列着的一列数： ， ， ，…，如果从中选出若干个数，使它们的平方和大于0．5，那么至少要选出数的个数是（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
1．有一个多项式为a8－a7b+a6b2－a5b3+…，按照此规律写下去，这个多项式的第八项是_________．
2．多项式4x2－10x+M是一个完全平方式，则M等于______．
3．分解因式：x3－4x=________．
三、解答题
1．（1）计算：
①4a2－（7ab－1）+2（3ab－2a2）； ②2a2b－3a·4ab+（－3b）（－a）2．
（2）先化简，再求值：
①（3x2－xy+y）－（5xy－4x2+y），其中x=2，y= ；
②已知2x－3=0，求代数式x（x2－x）+x2（5－x）－9的值．
（3）分解因式：
①2x2－18； ②x3y3－2x2y2+xy；
③8xy2－8x2y－2y3； ④3（x－2y）（x+2y）－9（2y－x）2．
2．如图1－2－1是某住宅的平面结构示意图，图中标注有尺寸（墙体厚度忽略不计，单位：米），房主计划给卧室铺上木地板，其余房间都铺上大理石板，则：
（1）至少需要多少平方米的大理石板？
（2）如果铺上大理石板的价格是每平方米m元，比铺木地板每平方米要少n元，那么房主要花多少钱？
◆实战模拟
一、选择题
1．单项式－ xa+bya－1与3x2y是同类项，则a－b的值为（ ）．
A．2 B．0 C．－2 D．1
2．下列因式分解中，结果正确的是（ ）．
A．2m2n－8n3=2n（m2－4n2） B．1－（x+2）2=－（x+1）（x+3）
C．x2－4=（x－2）2 D．x2－x+ x=x2（1－ + ）
3．（甘肃）在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图1所示，如果要使整个挂图的面积是2 816cm2，设金色纸边的宽为x（cm），那么x满足的方程是（ ）．
A．（60+2x）（40+2x）=2 816 B．（60+x）（40+x）=2 816
C．（60+2x）（40+x）=2 816 D．（60+x）（40+2x）=2 816
二、填空题
1．（内江）如图2是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式________．
(1) (2)
2．某音像公司对外出租光盘的收费方法是：每张光盘出租后的前2天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一张光盘出租后的第n天（n>2且为整数）应收费________元．
3．一张纸片，第一次把它撕成6片，第二次把其中一片又撕成6片，……如此下去，则n次撕后共得小纸片_________片．
三、解答题
1．（1）计算：
①－3a（ b2－2a）+2b（a2－ab）－2a2（b+3）；
②（3a－b+2c）（3a+b－2c）+（b+2c）2．
（2）分解因式：
①（x－1）（x－3）+1； ②（2x2－3）2+10（3－2x2）+25；
（3）若2a－b=2，ab=3，求2a3b－2a2b2+ ab3的值；
（4）若a，b，c为△ABC的三边，且（a2+b2）2－4a2b2=0，判断△ABC的形状．
2．（河南）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，周长为L．
（1）填表：
三边a、b、c | a+b－c | |
3，4，5 | 2 | |
5，12，13 | 4 | |
8，15，17 | 6 |
（2）如果a+b－c=m，按题意观察上表猜想： =________（用含有m的代数式表示）；
（3）证明（2）中的结论．
答案:
中考演练
一、1．C 2．C 3．B
二、1．－ab7 2． 3．x（x+2）（x－2）
三、1．（1）①－ab+1 ②－13a2b （2）①24 ②0
（3）①2（x+3）（x－3） ②xy（xy－1）2 ③－2y（2x－y）2 ④－6（x－2y）（x－4y）
2．（1）11ab （2）（15abm+4abn）元
实战模拟
一、1．A 2．B 3．A
二、1．（a－b）2=（a+b）2－4ab 2．0.5n+0.6 3．5n+1
三、1．（1）①－3ab2 ②9a2+8bc
（2）①（x－2）2 ②4（x+2）2（x－2）2 （3）6 （4）等腰三角形
2．（1）略 （2）
（3）∵a+b－c=m，∴a－b=m+c．
a2+2ab+b2=m2+2mc+c2，
2ab=m2+2mc，
∴ ．
第3讲 分式
◆考点链接
了解分式的概念，熟练掌握分式的计算．能应用整体代换、因式分解等方法对分式进行化简求值．
◆典例精析
【例题1】（1）当x为何值时，分式 无意义？
（2）当x为何值时，分式 的值为零？
解题思路：①判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论，而不是讨论化简后的分式；②在分式 中，若B=0，则分式无意义，若B≠0，则分式 有意义；③分式 的值为零的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可．
解：（1）要使分式 无意义，则需x2－x－2=0．所以当x=2或x=－1时，分式 无意义；
（2）要使分式 的值为零，则需x+1=0，且x2+2x－3=≠0，解得x=－1．
【例题2】计算：
（1） ．
解题思路：（1）题只含分式的乘除运算，应先把除法化为乘法，再约分；（2）题只含分式的加减运算，应先通分．当分式的分子、分母是多项式时，必须先将多项式分解因式．
答案：（1）－ （2）
【例题3】计算：
（1）先化简，再求值： －x－2），其中x= ；
（2）若 =3，求 的值．
解题思路：（1）题求值应先分别把条件及所求代数式化简，再将化简后的条件代入化简后的式子中求值．
（2）题运用分配规律及整体代入的思想可使运算简便．
当x= =2 －3时，原式= ．
（2）∵ =3，∴2y－x=3xy．
原式= ．
◆探究实践
【问题1】西瓜论千克计价，购买西瓜时，希望可以食用的部分占整个西瓜的比例越大越好．如果一批西瓜的皮厚都是d，试问买大西瓜合算还是买小西瓜合算？（把西瓜都看作球形，并设西瓜内物质的密度分布是均匀的，v球= R3）
解：设西瓜的半径为R，则可以食用部分与整个西瓜的体积的比为 =（1－ ）3．
因为d为常数，可见R越大， 越小，1－ 越大，从而可以食用部分占整个西瓜的比越大，所以说购买大西瓜更合算．
【问题2】阅读并计算下列各式：
猜想：
评析：把一分式“分解”为两个分式的代数和的形式能使得运算简捷，体现了式的恒等变换的重要功能．
◆中考演练
一、选择题
1．代数式 中，分式的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列等式中成立的是（ ）．
3．如果 =3，则 =（ ）．
A． B．xy C．4 D．
二、填空题
1．当x______时，分式 有意义；当x=______时，分式 的值为0．
2．化简分式： =________．
3．填写出未知的分子或分母：（1） ．
三、解答题
1．计算：
2．先化简，再求值：
（1） ，其中x=－5；
（2） ，其中m=2 －3；
（3） ，其中x=－ ．
◆实战模拟
一、选择题
1．已知两个分式：A= ，其中x≠±2，则A与B的关系是（ ）．
A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．A大于B
2．小李到超市买了单价为每千克m元的甲种糖a（kg），单价为每千克n元的乙种糖b（kg），
小李将两种糖混合后的平均单价为（ ）．
3．若x－ =7，则x2+ 的值为（ ）．
A．49 B．48 C．47 D．51
二、填空题
1．分式 的最简公分母是_______．
2．若 =________．
3．某超市将一批商品按标价打八折销售，仍获利20%，则该商品的标价是进价的____倍．
三、解答题
1．（1）求│a－5│+（b+4）2=0，求[ ]÷（a2+2ab+b2）的值．
（2）学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品，若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．问这笔钱全部用来买钢笔或日记本，可买多少？
2．（1）甲、乙两人两次到某粮店去买米，两次的大米价格分别为每千克a元和b元，甲每次买100kg大米，乙每次买100元大米，问谁两次买的大米平均价格更低些？说明理由；
（2）建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积与地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
答案:
中考演练
一、1．B 2．B 3．C
二、1．x≠1，x=1 2． ，x－2 3．3x2－3xy，y+1
三、1．（1）
2．（1）x+9，值4 （2） （3）x2+4，值7．
3．（1）a2－b2=（a+b）（a－b） （2） （3）－1
实战模拟
一、1．C 2．C 3．D
二、1．12x2y3 2．3 3．1．5
三、1．（1）a=5，b=－4，原式=
（2）解：设钢笔x元/支，日记本y元/本，则60（x+2y）=50（x+3y），得x=3y．于是钢笔可买 =100（支）．日记本可买 =300（本）
2．（1）乙两次买大米的平均价格更低些，理由是：甲两次买大米的平均价格为 （元/kg），乙两次买大米的平均价格为 >0，乙两次买大米的平均价格更低．
第4讲 数的开方及二次根式
◆考点链接
1．了解平方根、算术平方根、立方根、开平方、开立方的定义及性质，会用根号表示数的平方根、立方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根．
3．能用有理数估计一个无理数的大致范围．
4．了解二次根式的概念及其加减乘除运算法则，会用它们进行有关实数的运算．
◆典例精析
【例题1】填空：
（1） 的平方根是_______；（－3）2的算术平方根是______，－ 的立方根是_____．
（2）若 有意义，则x_____．
答案：（1）±2 3 － （3）3－x x≠
解题思路：（1）注意平方根与算术平方根的区别和联系；（2）在中a≥0．
【例题2】计算：
（4）（ － + ）（ + － ）．
答案：（1）－4 + （2）45 （3）4+ （4）2
解题思路：（1）有理数的运算法则与运算律对实数仍适用；（2）注意乘法公式在二次根式运算中的应用．
【例题3】小明用一根铁丝围成了一个面积为25cm2的正方形，小颖对小明说：“我用这根铁丝可以围个面积也是25cm2的圆，且铁丝还有剩余”．问小颖能成功吗？若能，请估计可剩多少厘米的铁丝？（误差小于1cm）若不能，请说明理由．
解题思路:首先应根据面积为25cm2，求出二者的周长，再采用估算法比较周长的大小．
解：设正方形边长为a（cm），周长为c1（cm），圆的半径为R（cm），周长为c2（cm），
由 R2=25得R= ，
∴c2=2 R=2 （ ）=10 =20．
又∵ ，
∴17<c2<18，2<c1－c2<3．
因此，小颖能成功，估计可剩2cm的铁丝．
◆探究实践
【问题1】在3×3的正方形网格中（如图）每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：
（1）请在一个网格图中画一个三边长分别为3，2 ， 的三角形，一共可画这样的三角形多少个？
（2）画一个三边长均为无理数，且面积为1 的钝角三角形．
解题思路：运用勾股定理在图中产生长为2 ， 的线段是解（1）题的关键，而利用对称关系一共有8个．（2）3×3的正方形网格的一条对角线分成两个三角形面积为4 ，又由三边长都是无理数，结合图形面积的和与差的关系4 －3=1 ，即可画出图．
【问题2】代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：
S= …①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积）．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
S= …② （其中p= ）．
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．
解题思路：直接把三边长5，7，8，分别代入公式①和公式②即可．
答案：代入公式①得10 ，代入公式②得10
由于公式②的被开方数是乘积式，因此，对公式①中的被开方数分解因式，是解此题的关键．
=
◆中考演练
一、选择题
1．下列根式中与 同类二次根式的是（ ）．
A． B．
2．二次根式 中，字母a的取值范围是（ ）．
A．a<1 B．a≤1 C．a≥1 D．a>1
3．估计 的大小应在（ ）．
A．6与7之间 B．7与7.5之间 C．7.5与8之间 D．8与8.5之间
二、填空题
1．2的平方根是_______，－27的立方根是_______．
2． =______；（ +3）2=______．
3．若 =________．
三、解答题
1．计算：
2．如图，在高为4m，斜坡长为10m的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯_______m．（误差小于0.1m）
◆实战模拟
一、选择题
1．下列等式成立的是（ ）．
2．式子 成立的条件是（ ）．
A．x≥3 B．x≤1 C．1≤x≤3 D．1<x≤3
3．用计算器探索：按一定规律排列的一组数：1， ，－ ，2， ，－ ， …，如果从1开始依次连续选取若干个数，使它们的和大于5，那么至少要选（ ）个数．
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
1．比较大小：（1）5 ____6 ；（2） ______ ．
2．若（x－1）与（x+7）是一个数的平方根，则这个数是_______．
3．用6个边长为1的正方形拼成一个矩形，则此矩形的对角线的长是______．
三、解答题
1．计算：
（1） － ÷2－1+ －（ －1）；
（2）（ +5 ）（5 －2 ）+ ．
2．（1）如图所示，15只空油桶（每只油桶底面的直径为50cm）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果精确到0.01cm）
（2）已知： =│a│，a2+2ab+b2=（a+b）2，一个同学在化简 时是这样化简的： =2+ ．
请仿照这个同学的做法化简： ．
答案:
中考演练
一、1．C 2．B 3．B
二、1．± ，－3 2．5，－2，35，14+6 3．1.096
三、1．（1） （2）11 （3） +1 （4）0 2．13.2
实战模拟
一、1，B 2．D 3．C
二、1．<，> 2．16 3． ，
三、1．（1）3 －1 （2）70－
2．（1）（2 +1）×50≈223.20cm （2）3－
第5讲 整式方程的解法及应用
◆考点链接
1．理解一元一次方程、一元二次方程的定义，方程解的定义．
2．掌握一元一次方程、一元二次方程的解法．
3．能够根据具体问题中的数量关系用一元一次方程、一元二次方程解应用．
4．注意方程与函数间的关系及其应用．
◆典例精析
【例题1】（1）关于x的方程（m－2）x|m|－1+4=0是一元一次方程，则m=_______；
（2）关于x的方程（m－1）x +（m+1）x+6=0是一元二次方程，则m=_______．
答案：（1）m=－2 （2）m=－1
评析：该题主要是考查一元一次方程、一元二次方程的定义．
【例题2】解方程：
（1）2－ ； （2） [ （ x－1）+2]－2 = ．
解题思路：①题应先去分母，②题先从外到里去括号较简．
答案：（1）x=2 （2）x=11
评析：解一元一次方程，注意掌握步骤，观察特点，灵活运用分配律或分数基本性质等，将方程化简后求解．
【例题3】解方程：（1）2x2－2x－1=0（用配方法）；（2）x2+6x－11=0；
（3）9（2x+3）2－4（2x－5）2=0．
解题思路：（2）题用公式法，（3）题用因式分解法解较简．
答案：（1）x1= ； （2）x1=－3+2 ，x2=－3－2 ．
（3）x1= ，x2=－9 ．
◆探究实践
【问题1】在“五一”黄金周，小明、小亮等同学随家人一同到黄山游玩，公园的门票价为：成人35元/张；学生：按成人票5折优惠；团体（16人以上含16人）；按成人票6折优惠．爸爸对小明说：大人门票每张35元，学生门票对折优惠，我们有12人，共需350元，小明对爸爸说：等一等，让我算一算，换一种方式买票，是否可以更省钱？
（2）请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由．
解析：（1）成人有x人，则学生有（12－x）人，由题意可得：35x+ （12－x）=350，解得：x=8．
去了8个成人，4个学生；
（2）35×16×0.6=336，350－336=14．买团体票可省14元．
【问题2】（包头）某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．
（1）为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种书包的售价应定为多少元？
（2）10 000元的利润是否为最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？
（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润．
解：（1）设每个书包涨价x元，则书包售价为（40+x）元，书包销售量为（600－10x）个．
由题意得（40+x－30）（600－10x）=10 000，
解得x1=10，x2=40，当x=10时，x+40=50，当x=40时，x+40=80．
答：每个书包售价为50元或80元；
（2）10 000元不是最大利润，设每个书包涨价x元，利润为y元，则y=（40+x－30）（600－10x）=－10（x－25）2+12 250．
当x=25时，y最大=12 250．
又∵40+25=65，∴当每个书包售价为65元时，获得最大利润为12 250元；
（3）在y=（40+x－30）（600－10x）中，令y=0，得（40+x－30）（600－10x）=0，解得x1=－10，x2=60．
抛物线y=（40+x－30）（600－10x）与x轴交于（－10，0），（60，0），由图象知当－10<x<60时，y>0．
即当售价在大于30元且小于100元时均获利润．
评析：此题为一元二次方程与二次函数相关知识在实际问题中的综合应用，需抓住一元二次方程与二次函数间的关系，运用数型结合的思想，化难为易．
◆中考演练
一、选择题
1．若2是关于x的方程 x2－2a=0的一个根，则2a－1的值是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）．
A．x2+1=0 B．x2+2x+1=0 C．x2+2x+3=0 D．x2+2x－3=0
3．我国古代名著《九章算术》中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（ ）．
A．（9－7）x=1 B．（9+7）x=1 C．（ + ）x=1 D．（ － ）x=1
二、填空题
1．方程3x2=5x+2的二次项系数为______，一次项系数为______．
2．如果 与 x－3的值互为相反数，则x=_______．
3．关于x的方程（a－1）xa2+1+x－1=0若是一元一次方程，则a=_____；若是一元二次方程，则a=_______．
三、解答题：
1．（1）解方程：①5x－3=4x+15； ② ．
（2）选择恰当方法解下列一元二次方程：
①2x（x－3）=5（x－3）； ②2（3x+1）2－8=0；
③2x2+4x－1=0； ④x（x－1）=6．
2．（南京）西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批小型西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现这种小西瓜每降价0.1元/kg，每天可多售出40kg．另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元？
◆实战模拟
一、选择题
1．将方程x2+4x+1=0配方后，原方程变形为（ ）．
A．（x+2）2=3 B．（x+4）2=3 C．（x+2）2=－3 D．（x+2）2=－5
2．某商店把一商品按标价的九折出售（即优惠10%），仍可获利20%，若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为（ ）．
A．21元 B．19.8元 C．22.4元 D．25.2元
3．根据下列表格的对应值：
x2 | 3.23 | 3.24 | 3.25 | 3.26 |
ax+bx+c | －0.06 | －0.02 | 0.03 | 0.09 |
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）．
A．3<x<3.23 B．3．23<x<3.24 C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<36
二、填空题
1．当（x2+x）2+（x2+x）=6时，3x2+3x－5=______．
2．（宁波）已知：关于x的方程 的解是x=2，其中a≠0且b≠0，则代数式 － 的值为______．
3．（温州）杉杉打火机厂生产某种型号的打火机，每只的成本为2元，毛利率为25%．工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，则这种打火机每只的成本降低了________元．（精确到0.01元．毛利率= ×100%）
三、解答题
1．某班52名学生准备全部去南湖公园郊游，为了确定旅游费用，班主任派班长去了解船只租金情况．租金如下：（1）租用脚踏船，每只限载5人，租金为160元；（2）租用手划船，每只限载3人，租金为105元．请你设计租船方案，怎样才能使全班所付租金最少？最少租金是多少（严禁超载）？
2．（重庆）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36kg．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1．6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12kg．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
3．已知x1，x2是关于x的方程x2－kx+5（k－5）=0的两个正实数根．
（1）若x1+2x2=7，求实数k的值；（2）若x1－x2=2，求方程的根．
答案:
中考演练
一、1．C 2．D 3．C
二、1．3，－5 2．3 3．1，－1
三、1．（1）①x=18 ②x=－26
（2）①x1=3，x2=2 ②x1= ，x2=－1
③x1= ④x1=3，x2=－2
2．设应将每千克小西瓜的售价降低x元，由题意得：
（3－2－x）（200+ ）－24=200，2x2－x+0.12=0，x1=0.2，x2=0.3，
应降低0.2元或0.3元．
实战模拟
一、1．A 2．A 3．C
二、1．－14或1 2． 3．0.21
三、方案1：∵10< <11，
∴要11只脚踏船，11×160=1 760（元）
方案2：∵17< <18，
∴要18只手划船，18×105=1 890（元）
方案3：租x只脚踏船，y只手划船，所付租金为z元，5x+3y=52，z=160x+105y．
z=－15x+1 820，∵5x<52，∴x=10时z最小．
即租10只脚踏船，一只手划船，租金最少为1 705元．
2．（1）28（千克） （2）75千克，84%
*3．（1）k=6 （2）k=8时，x1=3，x2=5；k=12时，x1=5，x2=7.
第5讲 整式方程的解法及应用
◆考点链接
1．理解一元一次方程、一元二次方程的定义，方程解的定义．
2．掌握一元一次方程、一元二次方程的解法．
3．能够根据具体问题中的数量关系用一元一次方程、一元二次方程解应用．
4．注意方程与函数间的关系及其应用．
◆典例精析
【例题1】（1）关于x的方程（m－2）x|m|－1+4=0是一元一次方程，则m=_______；
（2）关于x的方程（m－1）x +（m+1）x+6=0是一元二次方程，则m=_______．
答案：（1）m=－2 （2）m=－1
评析：该题主要是考查一元一次方程、一元二次方程的定义．
【例题2】解方程：
（1）2－ ； （2） [ （ x－1）+2]－2 = ．
解题思路：①题应先去分母，②题先从外到里去括号较简．
答案：（1）x=2 （2）x=11
评析：解一元一次方程，注意掌握步骤，观察特点，灵活运用分配律或分数基本性质等，将方程化简后求解．
【例题3】解方程：（1）2x2－2x－1=0（用配方法）；（2）x2+6x－11=0；
（3）9（2x+3）2－4（2x－5）2=0．
解题思路：（2）题用公式法，（3）题用因式分解法解较简．
答案：（1）x1= ； （2）x1=－3+2 ，x2=－3－2 ．
（3）x1= ，x2=－9 ．
◆探究实践
【问题1】在“五一”黄金周，小明、小亮等同学随家人一同到黄山游玩，公园的门票价为：成人35元/张；学生：按成人票5折优惠；团体（16人以上含16人）；按成人票6折优惠．爸爸对小明说：大人门票每张35元，学生门票对折优惠，我们有12人，共需350元，小明对爸爸说：等一等，让我算一算，换一种方式买票，是否可以更省钱？
（2）请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由．
解析：（1）成人有x人，则学生有（12－x）人，由题意可得：35x+ （12－x）=350，解得：x=8．
去了8个成人，4个学生；
（2）35×16×0.6=336，350－336=14．买团体票可省14元．
【问题2】（包头）某商场将进货价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．
（1）为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种书包的售价应定为多少元？
（2）10 000元的利润是否为最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？
（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润．
解：（1）设每个书包涨价x元，则书包售价为（40+x）元，书包销售量为（600－10x）个．
由题意得（40+x－30）（600－10x）=10 000，
解得x1=10，x2=40，当x=10时，x+40=50，当x=40时，x+40=80．
答：每个书包售价为50元或80元；
（2）10 000元不是最大利润，设每个书包涨价x元，利润为y元，则y=（40+x－30）（600－10x）=－10（x－25）2+12 250．
当x=25时，y最大=12 250．
又∵40+25=65，∴当每个书包售价为65元时，获得最大利润为12 250元；
（3）在y=（40+x－30）（600－10x）中，令y=0，得（40+x－30）（600－10x）=0，解得x1=－10，x2=60．
抛物线y=（40+x－30）（600－10x）与x轴交于（－10，0），（60，0），由图象知当－10<x<60时，y>0．
即当售价在大于30元且小于100元时均获利润．
评析：此题为一元二次方程与二次函数相关知识在实际问题中的综合应用，需抓住一元二次方程与二次函数间的关系，运用数型结合的思想，化难为易．
◆中考演练
一、选择题
1．若2是关于x的方程 x2－2a=0的一个根，则2a－1的值是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）．
A．x2+1=0 B．x2+2x+1=0 C．x2+2x+3=0 D．x2+2x－3=0
3．我国古代名著《九章算术》中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（ ）．
A．（9－7）x=1 B．（9+7）x=1 C．（ + ）x=1 D．（ － ）x=1
二、填空题
1．方程3x2=5x+2的二次项系数为______，一次项系数为______．
2．如果 与 x－3的值互为相反数，则x=_______．
3．关于x的方程（a－1）xa2+1+x－1=0若是一元一次方程，则a=_____；若是一元二次方程，则a=_______．
三、解答题：
1．（1）解方程：①5x－3=4x+15； ② ．
（2）选择恰当方法解下列一元二次方程：
①2x（x－3）=5（x－3）； ②2（3x+1）2－8=0；
③2x2+4x－1=0； ④x（x－1）=6．
2．（南京）西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批小型西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现这种小西瓜每降价0.1元/kg，每天可多售出40kg．另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元？
◆实战模拟
一、选择题
1．将方程x2+4x+1=0配方后，原方程变形为（ ）．
A．（x+2）2=3 B．（x+4）2=3 C．（x+2）2=－3 D．（x+2）2=－5
2．某商店把一商品按标价的九折出售（即优惠10%），仍可获利20%，若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为（ ）．
A．21元 B．19.8元 C．22.4元 D．25.2元
3．根据下列表格的对应值：
x2 | 3.23 | 3.24 | 3.25 | 3.26 |
ax+bx+c | －0.06 | －0.02 | 0.03 | 0.09 |
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）．
A．3<x<3.23 B．3．23<x<3.24 C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<36
二、填空题
1．当（x2+x）2+（x2+x）=6时，3x2+3x－5=______．
2．（宁波）已知：关于x的方程 的解是x=2，其中a≠0且b≠0，则代数式 － 的值为______．
3．（温州）杉杉打火机厂生产某种型号的打火机，每只的成本为2元，毛利率为25%．工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，则这种打火机每只的成本降低了________元．（精确到0.01元．毛利率= ×100%）
三、解答题
1．某班52名学生准备全部去南湖公园郊游，为了确定旅游费用，班主任派班长去了解船只租金情况．租金如下：（1）租用脚踏船，每只限载5人，租金为160元；（2）租用手划船，每只限载3人，租金为105元．请你设计租船方案，怎样才能使全班所付租金最少？最少租金是多少（严禁超载）？
2．（重庆）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36kg．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1．6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12kg．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
3．已知x1，x2是关于x的方程x2－kx+5（k－5）=0的两个正实数根．
（1）若x1+2x2=7，求实数k的值；（2）若x1－x2=2，求方程的根．
答案:
中考演练
一、1．C 2．D 3．C
二、1．3，－5 2．3 3．1，－1
三、1．（1）①x=18 ②x=－26
（2）①x1=3，x2=2 ②x1= ，x2=－1
③x1= ④x1=3，x2=－2
2．设应将每千克小西瓜的售价降低x元，由题意得：
（3－2－x）（200+ ）－24=200，2x2－x+0.12=0，x1=0.2，x2=0.3，
应降低0.2元或0.3元．
实战模拟
一、1．A 2．A 3．C
二、1．－14或1 2． 3．0.21
三、方案1：∵10< <11，
∴要11只脚踏船，11×160=1 760（元）
方案2：∵17< <18，
∴要18只手划船，18×105, =1 890（元）
方案3：租x只脚踏船，y只手划船，所付租金为z元，5x+3y=52，z=160x+105y．
z=－15x+1 820，∵5x<52，∴x=10时z最小．
即租10只脚踏船，一只手划船，租金最少为1 705元．
2．（1）28（千克） （2）75千克，84%
*3．（1）k=6 （2）k=8时，x1=3，x2=5；k=12时，x1=5，x2=7.
第6讲 分式方程的解法及应用
◆考点链接
1．理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法，了解分式方程增根的定义．
2．会列分式方程解应用题．
◆典例精析
【例题1】解方程：
（1） ．
解：（1）[解法一]去分母得x2+x（x+1）=（2x+2）（x+1）．
解得：x=－ ．经检验，原方程的解是x=－ ．
[解法二]设y= ，原方程化为y+y－2=0．
解得：y=－2或y=1．当y=－2时， =－2，解得x=－ ；当y=1时， =1无解．
经检验，原方程的解是x=－ ．
（2）由原方程得：
去分母得：（x－2）－（x2－4）=－4．
解得：x=3或x=－2．
经检验，x=－2是增根（舍去）．
原方程的解为：x=3．
评析：解分式方程的一般方法为化整法（先去分母），特殊方程用换元法，牢记解后检验．
【例题2】甲、乙两地间铁路长2 400km，经技术改造后列车实现了提速，提速后比提速前速度增加20km/h，列车从甲地到乙地行驶时间减少4h，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140km/h，请你用学过的数学知识，说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？
解：设提速后列车的速度为x（km/h）．
则： =4，
解得：x1=120，x2=－100（舍去）．
经检验：x=120是原方程的解．
∵120<140，∴仍可再提速．
答：这条铁路在现有条件下仍可再次提速．
评析：能否再次提速就是比较提速后的速度与140km/h的大小关系．可见阅读理解是解决实际应用问题的关键．
◆探究实践
【问题1】某公司有100台机电设备，将其分配给批发部和零售部，分别以批发价和零售价出售，批发部和零售部所分到的台数不同，但按预算销售后所得的销售额（销售所得的贷款）恰好相等．
批发部的经理对零售部的经理说：“如果把你们分到的这批机电设备给我们卖可卖得160万元”，零售部的经理对批发部的经理说：“如果把你们分到的那批机电设备给我们卖，可卖得360万元．”
请问零售部分配到的机电设备是多少台？机电设备的零售单价是多少万元？
解：设零售部分配到的机电设备有x台．
由题意可得：x·
整理得：x2+160x－8 000=0．
解得：x1=40，x2=－200．
经检验：x1=40，x2=－200都是原方程的解，但机电设备台数不能为负数，x=－200应舍去．
∴x=40（台），零售单价为 ＝6万元．
答：零售部分配到40台机电设备，机电设备的零售单价为6万元．
评析：在应用问题中，方程的解还必须符合题意．也即是说满足、符合所有条件的解才是正确解．
【问题2】一城市出租车的收费标准如下表（x、N为正整数，里程数不足1km按1km记）．张叔乘出租车去公司办事，停车后，打出的电子收费单为“里程11km，应收29.1元，请付29元，谢谢！”
（1）求基本价N．
（2）张叔办完事后，再用了22元钱坐出租车回家，请求出停车后，电子收费单上的里程数．
里程x（km） | 0<x≤3 | 3<x≤6 | x>6 |
单价（元） | N |
解题思路：（1）由题意知出租车是分段记费，合成总费，根据这个实际情景，抓住各分段车费和为29.1元就可建立关于N的方程．（2）由29.1元车费只收29元这个信息说明付费22元是将应收车费按四舍五入精确到个位产生的，因此可由应收车费不小于21.5元且小于22.5元列出关于里程数x的不等式．
解：（1）由题意得：
N+3× +（11－6）× =29.1，
N2－29.1N+191=0，解得：N1=10，N2=19.1，
取整数N=10．
答：出租车基本价为每千米10元．
（2）设计费单上的里程数为x（km），由题意得
21.5≤10+3× <22.5，
解得：7 ，取整数x=8．
答：里程数为8km．
◆中考演练
一、选择题
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程 =0的实数根是（ ）．
A．0 B．2 C．0或2 D．不存在
3．某车间要加工170个零件，在加工完90个以后改进了操作方法，每天可多加工10个，一共用5天完成了任务，若改进操作方法后每天加工x个零件，所列方程正确的是（ ）．
二、填空题
1．方程 =1的解为_______．
2．当x=_______时，代数式 的值相等．
3．学校计划将120名学生平均分成若干个读书小组，若每个小组比原计划多1人，则要比原计划少分出6个小组，那么原计划要分成的小组数是_______．
三、解答题
1．解方程：（1） ．
2．为响应承办“绿色奥运”的号召，某中学九年级二班计划组织部分同学义务植树180棵，由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了2棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？
◆实战模拟
一、选择题
1．若解分式方程 产生增根，则m的值是（ ）．
A．－1或－2 B．－1或2 C．1或2 D．1或－2
2．下列分式方程中，有实数解的是（ ）．
3．某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实施施工时，每天的工效比原计划增加25%，结果提前20天完成这一任务，原计划每天铺设多长管道？设原计划每天铺设x米管道，根据题意所列的方程为（ ）．
二、填空题
1．若关于x的方程 无解，则m的值为_______．
2．已知x=3是方程 =1的一个根，则此方程的另一个根是_______．
3．关于x的方程 =m有实数根，则m的取值范围是______．
三、解答题:
1．（资阳）已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13 800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元．
（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由．
3．（荆门）某校九年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位．
（1）求中巴车和大客车各有多少个座位？
（2）客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？
答案:
中考演练
一、1．B 2．A 3．A
二、1．x=3 2．7 3．30
三、1．（1）x= （2）x=5 2．30人
实战模拟
一、1．D 2．B 3．A
二、1．1 2．x=2 3．m≤ 且m≠0
三、1．（1）20天，30天 （2）选择甲工程队
2．（1）每辆中巴车有座位45个，每辆大客车有座位60个．
（2）解法一：
①若单独租用中巴车，租车费用为 ×350=2100（元）
②若单独租用大客车，租车费用为（6－1）×400=2 000（元）
③设租用中巴车y辆，大客车（y+1）辆，则有
整数y=2
当y=2时，y+1=3，这时租车费用为350×2+400×3=1 900（元）．
故租用中巴车2辆和大客车3辆，比单独租用中巴车的租车费用少200元，比单独租用大客车的租车费少100元．
第7讲 方程组的解法及应用
◆考点链接
1．理解二元一次方程（组）的定义；二元一次方程（组）的解的定义．
2．能灵活地运用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组．
3．会解简单的三元一次方程组．
＊4．会解简单的二元二次方程组．
5．能利用方程组解应用题．
注：标有“＊”号的是选讲内容．
◆典例精析
【例题1】已知 的解，求a，b的值．
解题思路：根据解的定义可得到关于a，b的方程组．
答案：a=2，b=－3
【例题2】解方程组：
（1）
解题思路：（1）题可先将方程组中的各方程化简，再用代入法或加减法解二元一次方程组．也可设x+y=a，x－y=b用换元法解．（2）题应首先由一次方程得x=2y再代入二次方程消去x．
答案：（1）
【例题3】求使方程组的解x、y都是正数m的取值范围．
解：由原方程组得 ，解得 <m<7．
评析：这是一道方程与不等式的综合试题，需求出方程组的解，才能建立满足条件的不等式组．
◆探究实践
【问题1】（重庆）某出租车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油为80元．为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4 000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的 ，公司第二次再改造同样多的车辆后，所有改造后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的 ．
问：（1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了多少？
（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节约的燃料费中收回成本？
解题思路：抓住改装后的车辆每天的燃料费占未改装车辆每天燃料费的分率，建立方程组是解此题的关键．
解：设公司第一次改装了y辆出租车，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x．
答：公司第一次改装了20辆出租车，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%．
（2）设公司一次性将全部出租车改装，m天后就可以从节约的燃料费中收回成本．
则100×80×40%×m=4000×100，解得m=125．
答：125天后，就可以从节省的燃料费中收回成本．
【问题2】（枣庄）某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数 （kg） | 不超过 20kg | 20kg以上但 不超过40kg | 40kg以上 |
每千克价格 | 6元 | 5元 | 4元 |
张强两次共购买香蕉50kg（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、第二次各购买香蕉多少千克？
解：设张强第一次购买香蕉x（kg），第二次购买香蕉y（kg），由题意，得0<x<25．
（1） 由0<x≤20，y≤40时，由题意，得
（2）当0<x≤20，y>40时，由题意，得
（不合题意，舍去）
（3）当20<x<25时，25<y<30，此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y）=5×50=250<264（不合题意，舍去）．
综合（1）（2）（3）可知，张强第一次购买香蕉14kg，第二次购买香蕉36kg．
评析：充分利用表中信息，分段讨论及解答是解此类题的关键．
◆中考演练
一、选择题
1．下列各方程中，是二元一次方程的为（ ）．
A．x2+2y=9 B．x+ =2 C．xy－1=0 D． +y=4
2．若 是方程kx－y=3的解，那么k值是（ ）．
A．2 B．－2 C．1 D．－1
3．（济南）如图，是在同一坐标系内作出的一次函数y1，y2的图象，设y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，则方程组 的解是（ ）．
A．
二、填空题
1．已知关于x、y的方程xm－2－4yn－3=0是二元一次方程，则2m+n=________．
2．已知方程3x+6y=8，则用含x的代数式表示y，则y=_______．
3．若一个二元一次方程的解为 ，则这个方程可以是______（只要求写出一个）．
三、解答题
1．解方程组：
（1）
2．（恩施）某校有两种类型的学生宿舍30间，大的宿舍每间可住8人，小的每间可住5人，该校198个住宿生恰好住满这30间宿舍，问大、小宿舍各有多少间？
◆实战模拟
一、选择题
1．已知方程组 有相同的解，则a、b的值为（ ）．
A．
2．若方程组 的解x，y满足0<x+y<1，则k的取值范围是（ ）．
A．2<k<3 B．－1<k<0 C．－3<k<1 D．1<k<2
3．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 ．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）．
(1) (2)
A．
二、填空题
1．已知方程组 的解x与y的和是2，则a=_______．
2．已知代数式kx+my+z中，当x=－1，y=3，z=4时，它的值等于0；当x=－1，y=－2，z=1时，它的值等于4，则k=_____，m=_____．
3．关于x、y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是________．
三、解答题:
1．解下列各题:
（1）在某校举办的足球赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．九年级三班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个球队只输了2场，那么这支足球队胜了几场？平几场？
（2）如图，在3×3的方程中，填写了一些代数式和数．
①在图3中各行，各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x，y的值；
②把满足（1）的其他6个数填入图4中的方格内．
(3) (4)
2．（盐城）某校书法兴趣准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．
（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A，B两种类型毛笔的零售价各是多少？
（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）的90%出售，现要购买A型毛笔a支（a>40），在新的销售方法和原销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由．
答案:
中考演练
一、1．D 2．A 3．B
二、1．10 2．y= 3．x+2y=0
三、1．（1）
2．学校大的宿舍有16间，小的宿舍有14间
实战模拟
一、1．D 2．C 3．A
二、1．5 2．－ ，－ 3．
三、1．（1）胜6场，平4场 （2）①x=－1，y=1 ②略
2．（1）A型毛笔每支2元，B型毛笔每支3元
（2）如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元
则m=20×2+（a－20）×（2－0.4）=1.6a+8
如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元，
则n=a×2×90%=1.8a，于是n－m=1.8a－（1.6a+8）=0.2a－8，
∵a>40，∴0.2a>8，
∴n－m>0可见，当a>40时，用新的方法购买得的A型毛笔花钱多，
故用原来的方法购买花钱少．
第8讲 不等式（组）的解法及应用
◆考点链接
1．理解一元一次不等式（组）的解及解集的概念．掌握不等式的性质．
2．会解一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集．
3．会解一元一次不等式组，并会在数轴上确定解集．
4．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）解决实际问题．
◆典例精析
【例题1】（1）解不等式 －1，并在数轴上表示出它的数轴；
（2）解不等式组 ，并在数轴上表示出它的解集．
答案：（1）x<2 （2）－4<x≤5（数轴略）
解题思路：（1）解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似，要注意同乘、除负数时不等号的方向要改变．（2）解不等式组应先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴找出它们的公共部分．
【例题2】求不等式组 的整数解．
解：解不等式①，得x≤6；解不等式②，得x>4，∴不等式组的解集为4<x≤6．
因此不等式组的整数解为5，6．
【例题3】（佳木斯）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元．每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元不高于200万元．
（1）该公司有哪几种进货方案？
（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）利用（2）中所求得的最大利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．
解：（1）购买甲种商品x件（x≥0），则购买乙种商品（20－x）件，由题意得：
190≤12x+8（20－x）≤200
解得：7.5≤x≤10
∵x为非负整数，∴取8，9，10
有三种进货方案：
购甲种商品8件，乙种商品12件．
购甲种商品9件，乙种商品11件．
购甲种商品10件，乙种商品10件．
（2）设可获得的利润为y万元，由（1）可得：
y=（14.5－12）x+（10－8）（20－x）
整理得：y=0.5x+40，∵y随x增大而增大，∴当购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润为45万元．
（3）购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润．
评析：抓住“不超过”、“不高于”等字词，寻求建立不等式（组）的数量关系，是解决此问题的关键．
◆探究实践
【问题1】若不等式组 只有三个整数解，求a的取值范围．
解：由不等式组，得a<x≤3．
∵已知不等式组只有三个整数解，
∴x只能取1，2，3，故0≤a<1．
解题思路：这里a≠1．
【问题2】（苏州）苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：
①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；
②每亩水面可在年初混合投入4kg蟹苗和20kg虾苗；
③每千克蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1 400元收益；
④每千克虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益．
（1）若租用水面n亩，则年租金共需_________元；
（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润（利润=收益－成本）；
（3）李大爷现有资金25 000元，他准备再向银行贷不超过25 000元的款，用于蟹虾混合养殖，已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35 000元？
解：（1）500n；（2）每亩的成本为：500+20（15+85）+4（75+525）=4 900（元）．
每亩的利润为：20×160+4×1400－4 900=3 900（元）．
（3）设李大爷应该租n亩水面，并向银行贷款x元，则4 900n=25 000+x，即x=4900n－25 000 ①
根据题意，得
将①代入不等式组，解得
∴n=10，x=4 900×10－25 000=24 000（元）．
答：李大爷应该租10亩，贷24 000元．
◆中考演练
一、选择题
1．不等式2x>3－x的解集是（ ）．
A．x>3 B．x<3 C．x>1 D．x<1
2．不等式组 的正整数解的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是图2－4－1中的（ ）．
A B C D
二、填空题
1．不等式1≤3x－7<5的整数解为_________．
2．不等式组 的解集为_________．
3．一个矩形，两边长分别为x（cm）和10cm，如果它的周长小于80cm，面积不小于100cm，那么x的取值范围是_________．
三、解答题
1．解不等式（组）：
（1）10（x+4）≤84－x； （2）1－
－5（并把它的解集在数轴上表示出来）；
2．（哈尔滨）双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1 810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1 880元．
（1）求A、B两种型号的服装每件分别为多少元？
（2）若销售1件A型服装可获得18元，销售1件B型服装可获得30元．根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元．问有几种进货方案？如何进货？
◆实战模拟
一、选择题
1．若a<0，关于x的不等式ax+1>0的解集是（ ）．
A．x> B．x< C．x>－ D．x<－
2．点A（m－4，1－2m）在第三象限，则m的取值范围是（ ）．
A．m> B．m<4 C． <m<4 D．m>4
3．若不等式组 有解，则m的取值范围是（ ）．
A．m<2 B．m≥2 C．m<1 D．1≤m<2
二、填空题
1．若不等式组 无解，则m的取值范围是_______．
2．若不等式4x－a≤0的正整数解是1，2，则a的取值范围是______．
3．一组同学在母校合影留念，已知冲一张底片要0.6元，洗一张照片要0.4元，要使每人都得到一张照片，且平均分摊的钱不超过0.5元，那么合影同学至少要_____人．
三、解答题
1．解不等式（组）：
2．（河南）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．
甲 | 乙 | |
价格（万元/台） | 7 | 5 |
每台日产量（个） | 100 | 60 |
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？
答案:
中考演练
一、1．C 2．C 3．A
二、1．3 2．x>2 3．10≤x<30
三、1．（1）x≤4 （2）x>2 （3）x≤2 （4）x≤－3 （5）－1，0，1
2．（1）A型每件x元，B型每件y元，
（2）B型m件， 9 ≤m≤12
有三种进货方案：A型24件，B型10件；A型26件，B型11件；A型28件，B型12件．
实战模拟
一、1．D 2．C 3．A
二、1．m≥2 2．8≤a<12 3．6
三、1．（1）x<3 （2）x<－0．1 （3）x≤3 （4）无解
2．（1）设购买甲种计算器x（x≥0）台，由题意得：
7x+5（6－x）≤34，x≤2，x可取0，1，2三个值．
方案一：买乙种机器6台．
方案二：买甲种1台，乙种5台．
方案三：买甲种2台，乙种4台．
（2） ， ≤x≤2，x可取1，2．
购买机器所需资金y（万元），y=7x+5（6－x）=2x+30，
当x=1，y最小值=32（万元），用方案二进货．
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