[08中考]不等式（组）的解法及应用 |
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第8讲 不等式（组）的解法及应用
◆考点链接
1．理解一元一次不等式（组）的解及解集的概念．掌握不等式的性质．
2．会解一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集．
3．会解一元一次不等式组，并会在数轴上确定解集．
4．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）解决实际问题．
◆典例精析
【例题1】（1）解不等式 －1，并在数轴上表示出它的数轴；
（2）解不等式组 ，并在数轴上表示出它的解集．
答案：（1）x<2 （2）－4
解题思路：（1）解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似，要注意同乘、除负数时不等号的方向要改变．（2）解不等式组应先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴找出它们的公共部分．
【例题2】求不等式组 的整数解．
解：解不等式①，得x≤6；解不等式②，得x>4，∴不等式组的解集为4
因此不等式组的整数解为5，6．
【例题3】（佳木斯）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元．每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元不高于200万元．
（1）该公司有哪几种进货方案？
（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）利用（2）中所求得的最大利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．
解：（1）购买甲种商品x件（x≥0），则购买乙种商品（20－x）件，由题意得：
190≤12x+8（20－x）≤200
解得：7.5≤x≤10
∵x为非负整数，∴取8，9，10
有三种进货方案：
购甲种商品8件，乙种商品12件．
购甲种商品9件，乙种商品11件．
购甲种商品10件，乙种商品10件．
（2）设可获得的利润为y万元，由（1）可得：
y=（14.5－12）x+（10－8）（20－x）
整理得：y=0.5x+40，∵y随x增大而增大，∴当购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润为45万元．
（3）购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润．
评析：抓住“不超过”、“不高于”等字词，寻求建立不等式（组）的数量关系，是解决此问题的关键．
◆探究实践
【问题1】若不等式组 只有三个整数解，求a的取值范围．
解：由不等式组，得a
∵已知不等式组只有三个整数解，
∴x只能取1，2，3，故0≤a<1．
解题思路：这里a≠1．
【问题2】（苏州）苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：
①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；
②每亩水面可在年初混合投入4kg蟹苗和20kg虾苗；
③每千克蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1 400元收益；
④每千克虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益．
（1）若租用水面n亩，则年租金共需_________元；
（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润（利润=收益－成本）；
（3）李大爷现有资金25 000元，他准备再向银行贷不超过25 000元的款，用于蟹虾混合养殖，已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35 000元？
解：（1）500n；（2）每亩的成本为：500+20（15+85）+4（75+525）=4 900（元）．
每亩的利润为：20×160+4×1400－4 900=3 900（元）．
（3）设李大爷应该租n亩水面，并向银行贷款x元，则4 900n=25 000+x，即x=4900n－25 000 ①
根据题意，得
将①代入不等式组，解得
∴n=10，x=4 900×10－25 000=24 000（元）．
答：李大爷应该租10亩，贷24 000元．
◆中考演练
一、选择题
1．不等式2x>3－x的解集是（ ）．
A．x>3 B．x<3 C．x>1 D．x<1
2．不等式组 的正整数解的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是图2－4－1中的（ ）．
A B C D
二、填空题
1．不等式1≤3x－7<5的整数解为_________．
2．不等式组 的解集为_________．
3．一个矩形，两边长分别为x（cm）和10cm，如果它的周长小于80cm，面积不小于100cm，那么x的取值范围是_________．
三、解答题
1．解不等式（组）：
（1）10（x+4）≤84－x； （2）1－
－5（并把它的解集在数轴上表示出来）；
2．（哈尔滨）双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1 810元；若购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1 880元．
（1）求A、B两种型号的服装每件分别为多少元？
（2）若销售1件A型服装可获得18元，销售1件B型服装可获得30元．根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元．问有几种进货方案？如何进货？
◆实战模拟
一、选择题
1．若a<0，关于x的不等式ax+1>0的解集是（ ）．
A．x> B．x< C．x>－ D．x<－
2．点A（m－4，1－2m）在第三象限，则m的取值范围是（ ）．
A．m> B．m<4 C． 4
3．若不等式组 有解，则m的取值范围是（ ）．
A．m<2 B．m≥2 C．m<1 D．1≤m<2
二、填空题
1．若不等式组 无解，则m的取值范围是_______．
2．若不等式4x－a≤0的正整数解是1，2，则a的取值范围是______．
3．一组同学在母校合影留念，已知冲一张底片要0.6元，洗一张照片要0.4元，要使每人都得到一张照片，且平均分摊的钱不超过0.5元，那么合影同学至少要_____人．
三、解答题
1．解不等式（组）：
2．（河南）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元． （1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？
答案:
中考演练
一、1．C 2．C 3．A
二、1．3 2．x>2 3．10≤x<30
三、1．（1）x≤4 （2）x>2 （3）x≤2 （4）x≤－3 （5）－1，0，1
2．（1）A型每件x元，B型每件y元，
（2）B型m件， 9 ≤m≤12
有三种进货方案：A型24件，B型10件；A型26件，B型11件；A型28件，B型12件．
实战模拟
一、1．D 2．C 3．A
二、1．m≥2 2．8≤a<12 3．6
三、1．（1）x<3 （2）x<－0．1 （3）x≤3 （4）无解
2．（1）设购买甲种计算器x（x≥0）台，由题意得：
7x+5（6－x）≤34，x≤2，x可取0，1，2三个值．
方案一：买乙种机器6台．
方案二：买甲种1台，乙种5台．
方案三：买甲种2台，乙种4台．
（2） ， ≤x≤2，x可取1，2．
购买机器所需资金y（万元），y=7x+5（6－x）=2x+30，
当x=1，y最小值=32（万元），用方案二进货．
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